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傅里叶级数（三角函数形式）
推导过程
任何满足狄利克雷条件的周期函数 \(f(x)\) 可分解成正弦函数和余弦函数的组合
\[ f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum^{+\infty}_{n=1} a_{n}cos(n\omega x)+\sum^{+\infty}_{n=1}b_{n}sin(n\omega x) \]
- 在 (1) 中，函数周期 \(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，\(a_{0}\)、\(a_{n}\)、\(b_{n}\) 均是常数
- 狄利克雷条件：函数值有限，存在有限个间断点和有限个极值点
\(\frac{a_{0}}{2}\) 的值
对 (1) 两边从 \(t_{0}\) 到 \(t_{0}+T\) 积分
\[ \int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)dx=\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\frac{a_{0}}{2}dx+\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\sum^{+\infty}_{n=1} a_{n}cos(n\omega x)dx+\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\sum^{+\infty}_{n=1}b_{n}sin(n\omega x)dx \]
化简
\[ \int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)dx=\frac{a_{0}}{2}T+0+0 \]
\[ \frac{a_{0}}{2}=\frac{\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)dx}{T} \]
- 由于三角函数集的正交性
\[ \int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\sum^{+\infty}_{n=1} a_{n}cos(n\omega x)dx=0，\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\sum^{+\infty}_{n=1}b_{n}sin(n\omega x)dx=0 \]
- \(\frac{a_{0}}{2}\) 是一个常数项，之所以不写成 \(k\)，是因为将 \(0\) 带入 \(\frac{a_{n}}{2}\) ，恰好可得出此常数的值
\(a_{n}\) 的值
对 (1) 两边同时乘以 \(cos(m\omega x)\) ，并从 \(t_{0}\) 到 \(t_{0}+T\) 积分
\[ \int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)cos(m\omega x)dx=\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\frac{a_{0}}{2}cos(m\omega x)dx+\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\sum^{+\infty}_{n=1} a_{n}cos(n\omega x)cos(m\omega x)dx+\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\sum^{+\infty}_{n=1}b_{n}sin(n\omega x)cos(m\omega x)dx \]
化简 \[ \int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)cos(m\omega x)dx=0+\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\sum^{+\infty}_{n=1} a_{n}cos(n\omega x)cos(m\omega x)dx+0 \]
\[ \int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)cos(m\omega x)dx=\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\sum^{+\infty}_{n=1} a_{n}cos(n\omega x)cos(m\omega x)dx \]
\[ \int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)cos(m\omega x)dx=a_{n}\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}cos^2(n\omega x)dx \]
\[ \int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)cos(m\omega x)dx=\frac{a_{n}}{2}\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}1+cos(2n\omega x)dx \]
\[ \int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)cos(m\omega x)dx=\frac{a_{n}}{2}T \]
得到
\[ a_{n}=\frac{2}{T}\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)cos(m\omega x)dx \]
- \(cos(m\omega x)\) 中的 \(m\) 为任意一个不等于 \(n\) 的常数
- 由于三角函数集的正交性 \[ \int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\frac{a_{0}}{2}cos(m\omega x)dx=0，\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\sum^{+\infty}_{n=1}b_{n}sin(n\omega x)cos(m\omega x)dx=0 \]
- 在 \[ \int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\sum^{+\infty}_{n=1} a_{n}cos(n\omega x)cos(m\omega x)dx \] 中，当且仅当 \(n=m\) 时，积分不为 \(0\)
\(b_{n}\) 的值
同理可得
\[ b_{n}=\frac{2}{T}\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)sin(m\omega x)dx \]
结论
综上所述，任何满足狄利克雷条件的周期函数 \(f(x)\) 可分解成正弦函数和余弦函数的组合
- \[ f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum^{+\infty}_{n=1} a_{n}cos(n\omega x)+\sum^{+\infty}_{n=1}b_{n}sin(n\omega x) \]
其中
\[ \frac{a_{0}}{2}=\frac{\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)dx}{T} \]
\[ a_{n}=\frac{2}{T}\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)cos(n\omega x)dx \]
\[ b_{n}=\frac{2}{T}\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)sin(n\omega x)dx \]
- 狄利克雷条件：函数值有限，存在有限个间断点和有限个极值点
- 将 \(0\) 带入 \(\frac{a_{n}}{2}\) ，得到 \(\frac{a_{0}}{2}\)
