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傅里叶级数(三角函数形式)

推导过程

任何满足狄利克雷条件的周期函数 \(f(x)\) 可分解成正弦函数和余弦函数的组合

\[ f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum^{+\infty}_{n=1} a_{n}cos(n\omega x)+\sum^{+\infty}_{n=1}b_{n}sin(n\omega x) \]

  • 在 (1) 中,函数周期 \(T=\frac{2\pi}{\omega}\)\(a_{0}\)\(a_{n}\)\(b_{n}\) 均是常数
  • 狄利克雷条件:函数值有限,存在有限个间断点和有限个极值点

\(\frac{a_{0}}{2}\) 的值

对 (1) 两边从 \(t_{0}\)\(t_{0}+T\) 积分

\[ \int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)dx=\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\frac{a_{0}}{2}dx+\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\sum^{+\infty}_{n=1} a_{n}cos(n\omega x)dx+\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\sum^{+\infty}_{n=1}b_{n}sin(n\omega x)dx \]

化简

\[ \int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)dx=\frac{a_{0}}{2}T+0+0 \]

\[ \frac{a_{0}}{2}=\frac{\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)dx}{T} \]

  • 由于三角函数集的正交性

\[ \int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\sum^{+\infty}_{n=1} a_{n}cos(n\omega x)dx=0,\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\sum^{+\infty}_{n=1}b_{n}sin(n\omega x)dx=0 \]

  • \(\frac{a_{0}}{2}\) 是一个常数项,之所以不写成 \(k\),是因为将 \(0\) 带入 \(\frac{a_{n}}{2}\) ,恰好可得出此常数的值

\(a_{n}\) 的值

对 (1) 两边同时乘以 \(cos(m\omega x)\) ,并从 \(t_{0}\)\(t_{0}+T\) 积分

\[ \int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)cos(m\omega x)dx=\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\frac{a_{0}}{2}cos(m\omega x)dx+\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\sum^{+\infty}_{n=1} a_{n}cos(n\omega x)cos(m\omega x)dx+\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\sum^{+\infty}_{n=1}b_{n}sin(n\omega x)cos(m\omega x)dx \]

化简 \[ \int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)cos(m\omega x)dx=0+\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\sum^{+\infty}_{n=1} a_{n}cos(n\omega x)cos(m\omega x)dx+0 \]

\[ \int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)cos(m\omega x)dx=\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\sum^{+\infty}_{n=1} a_{n}cos(n\omega x)cos(m\omega x)dx \]

\[ \int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)cos(m\omega x)dx=a_{n}\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}cos^2(n\omega x)dx \]

\[ \int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)cos(m\omega x)dx=\frac{a_{n}}{2}\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}1+cos(2n\omega x)dx \]

\[ \int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)cos(m\omega x)dx=\frac{a_{n}}{2}T \]

得到

\[ a_{n}=\frac{2}{T}\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)cos(m\omega x)dx \]

  • \(cos(m\omega x)\) 中的 \(m\) 为任意一个不等于 \(n\) 的常数
  • 由于三角函数集的正交性 \[ \int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\frac{a_{0}}{2}cos(m\omega x)dx=0,\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\sum^{+\infty}_{n=1}b_{n}sin(n\omega x)cos(m\omega x)dx=0 \]
  • \[ \int^{t_{0}+T}_{t_{0}}\sum^{+\infty}_{n=1} a_{n}cos(n\omega x)cos(m\omega x)dx \] 中,当且仅当 \(n=m\) 时,积分不为 \(0\)

\(b_{n}\) 的值

同理可得

\[ b_{n}=\frac{2}{T}\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)sin(m\omega x)dx \]


结论

综上所述,任何满足狄利克雷条件的周期函数 \(f(x)\) 可分解成正弦函数和余弦函数的组合

  1. \[ f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum^{+\infty}_{n=1} a_{n}cos(n\omega x)+\sum^{+\infty}_{n=1}b_{n}sin(n\omega x) \]

其中

  1. \[ \frac{a_{0}}{2}=\frac{\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)dx}{T} \]

  2. \[ a_{n}=\frac{2}{T}\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)cos(n\omega x)dx \]

  3. \[ b_{n}=\frac{2}{T}\int^{t_{0}+T}_{t_{0}}f(x)sin(n\omega x)dx \]

  • 狄利克雷条件:函数值有限,存在有限个间断点和有限个极值点
  • \(0\) 带入 \(\frac{a_{n}}{2}\) ,得到 \(\frac{a_{0}}{2}\)

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