角动量定理和角动量守恒的简单推导 ⚡
角动量
假设存在一个质点，其质量为 \(m\) ，某时刻下的速度为 \(\vec v\) ，则其动量 \(\vec P=m\vec v\)。建立空间直角坐标系，原点为 \(O\)，\(O\) 到这个质点的矢量为 \(\vec r\)。用 \(\vec L\) 表示角动量，则根据角动量的定义：
- \[ \vec L = \vec r \times \vec P=\vec r \times m\vec v \]
其中 \(\vec r \times m\vec v\) 中的运算为向量叉乘，用 \(\theta\) 表示 \(\vec r\) 和 \(\vec v\) 的夹角，根据向量叉乘的定义：
- \[ \vert \vec L \vert=\vert \vec r \times \vec P \vert= \vert \vec r \times m\vec v \vert = m \vert \vec r \vert \vert \vec v \vert sin(\theta) \]
力矩
用 \(\tau\) 表示力矩，根据力矩的定义：
- \[ \vec \tau=\vec r \times \vec F \]
令 \(\theta\) 为力 \(\vec F\) 与 位置矢量 \(\vec r\) 的夹角
- \[ \vert \vec \tau \vert =\vert \vec r _\bot \vert \vert \vec F \vert= \vert \vec r \vert \vert \vec F \vert \sin(\theta) \]
角动量定理
角动量的变化率等于力矩
- \[ \frac{d \vec L}{dt}=\vec \tau \]
证明
将 (1) 和 (3) 式带入 (5)，可得
\[ \frac{d(\vec r \times m\vec v)}{dt}=\vec r \times \vec F \]
由 \(\vec F=m\vec a\) ，化简可得
\[ \frac{d(\vec r \times \vec v)}{dt}=\vec r \times \vec a \]
根据向量叉乘法则可得
\[ \frac{d(\vert \vec r \vert \vert \vec v \vert sin(\theta))}{dt}=\vert \vec r \vert \vert \vec a \vert sin(\theta) \]
由于 \(\vert \vec r \vert sin(\theta)\) 为定值，化简可得
\[ \frac{d(\vert \vec v \vert)}{dt}=\vert \vec a \vert \]
显然等式成立 😁
角动量守恒
特殊的，当物体受到的力矩为零时，即 \(\vec \tau=0\) ，那么根据 (5) 式， \(\frac{d \vec L}{dt}=0\)
此时物体受到的力矩为零，因此角动量变化率为零，角动量保持不变，这个现象叫做角动量守恒
- \[ \vec \tau=0 \to \frac{d \vec L}{dt}=0 \]
